그래프 알고리즘 - (5) Minimum Spanning Tree(Kruskal, Prim)

이 글은 포스텍 오은진 교수님의 알고리즘(CSED331) 강의를 기반으로 재구성한 것입니다.

 

1. Minimum Spanning Tree

정의

 MST는 모든 vertex를 포함하면서 weight를 최소화한 tree이다. 이는 greedy하게 구할 수 있으며, Kruskal과 Prim 2가지 방법으로 구할 수 있다.

 

 

 

2. Kruskal Algorithm

Cut Property

 MST T에 속해있는 edge들의 부분집합 X에 대해, X가 속해있는 영역 S와 나머지 영역 V\S로 나눈다. e가 S와 V\S를 weight가 가장 작은 edge라고 하자. 그러면 X ∪ {e}는 MST의 부분집합이 된다.

 proof)

 e가 MST T의 일부라면 X ∪ {e}는 T의 subset인 것은 자명하다.
 그렇지 않고 T가 e 대신 e'을 포함한다고 가정하자. 그러면 이 때 새로운 MST T' = T ∪ {e} - {e'}을 만들어 보면, Cost(T') <= Cost(T)이므로 T'이 MST이다.

 

 

Correctness of Kruskal Algorithm

 kruskal algorithm은 모든 edge 중 weight가 작은 것부터 고른다. 다만 tree - connected acyclic graph - 를 찾는 것이기 때문에 cycle이 생기면 안된다. -를 반복해 MST를 만드는 방법이다.

 증명은 바로 위의 cut property를 이용해 증명할 수 있다. cycle을 만들지 않는 lightest weight edge를 고르는데, 이 edge가 cross edge이므로 이러한 edge들만 골라가면 MST가 만들어 진다는 것이다.

 cycle을 형성하는지 여부는 union-find로 해결할 수 있다.

 

 

코드 : O(VlogV)

Struct Edge{
    int from, to, weight;
}
int Parent[1000001];
int Rank[1000001];

void Makeset(int s){
    Parent[s] = s;
    Rank[s] = 0;
    return;
}

int Find(int x){
    if(x == Parent[x]) return x;
    
    Parent[x] = Find(Parent[x]); // x의 parent를 x의 root로 설정
    return Parent[x];
}

void Union(int x, int y){
    int rx = Find(x);
    int ry = Find(y);
    if(rx == ry) return;
    
    if(Rank[rx] < Rank[ry]) // ry의 height가 더 크면 rx가 밑으로 글어가야 함
        Parent[rx] = ry;
    else{ // 그렇지 않다면 ry가 밑으로 들어가야 함
        Parent[ry] = rx;
        if(Rank[rx] == Rank[ry]){ // rank가 같으면 rank 조절
            Rank[ry]++;
        }
    }
}

void Kruskal(vector<Edge> edges){
    vector<Edge> MST;
    sort(edges.begin(), edges.end()); // edge 정렬
    for(Edge e: edges){ // 모든 edge에 대해
        if(find(e.from) != find(e.to)){ // cycle 형성하지 않으면 MST에 push
            MST.push_back(e);
            Union(edge.from, edge.to); // Union 연산
        }
    }
}

 

 

시간복잡도

 전체 edge를 오름차순 정렬하는 데 O(ElogE), kruskal algorithm은 edge를 고르는 것이니 Worst O(E).

 find(x)는 2|E|번, union(x, y)는 |V|-1번 호출되고 path compression을 한 union-find의 경우 각각의 operation이 O(log*|V|)이므로 O(|E| log*|V|). 보통 graph의 경우 |E| >= |V|이므로 따라서 모두 합쳐 O(ElogE)​​이다.

 

 

 

3. Prim Algorithm

 prim 알고리즘도 MST를 구하는 방법 중 하나이다. kruskal의 경우 모든 edge 중 cycle을 만들지 않는 lightest edge만 골랐다면, prim은 아래와 같은 순서를 따른다.

• 아무 vertex나 MST set에 넣는다.
• MST set의 크기가 |V|가 될 때 까지 아래 과정을 반복한다.
• MST set에 속해있는 모든 vertex의 edge 중 lightest edge를 골라 그 edge와 연결된 vertex를 MST set에 넣는다. 다만, 그 vertex가 MST set에 속해있으면 cycle이 만들어지기 때문에 그 edge는 넘긴다.

 kruskal과 비슷하다. acyclic하게 만들기 위해 이미 뽑은 vertex를 탐색한다면 넘기고, 그렇지 않다면 해당 edge를 골라 MST에 넣는 것이다.

 

코드 : O(ElogV)

struct cmp{
    bool operator()(pii &a, pii &b){
        return a.second > b.second;
    }
};

// edges[i] : i가 edge의 시작인 edge list
// edges[i][0].first : edge list의 edge end
// edges[i][0].second : edge list의 edge weight
int Prim(vector<vector<pii>> edges){
    int cost = 0;
    set<int> MST;
    priority_queue<pii, vector<pii>, pqcmp> pq; // pii.first : edge end, pii.second : edge weight

    // 시작 vertex
    MST.insert(0);
    for(pii p : adjacent[0]){
        pq.push(p);
    } // 시작 vertex와 연결된 모든 edge를 pq에 넣는다.

    while(MST.size() < V.size()){ // MST size가 |V|이 될 때까지 반복
        pii p = pq.top(); pq.pop();
        if(MST.find(p.first) == MST.end()){ // 연결되지 않았다면 연결
            MST.insert(p.first);
            cost += p.second;
            for(pii next_edges : edges[p.first]){
                pq.push(next_edges);
            }
        }
    }
    return cost;
}

 

 

시간복잡도

 set에 V를 넣고 검사하는 데 O(VlogV), edge의 for문이 |E|번 수행되므로 O(ElogV)이다.

 

 

 

4. Kruskal vs Prim

Kruskal	Prim
O(ElogE)	O(ElogV)
|E|보다 |V|가 더 큰 sparse graph에 적합	|E|보다 |V|가 더 작은 dense graph에 적합